Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm

Lerneinheit 3

Input

Fläche unter der v(t)-Kurve

In einem Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm (v(t)-Diagramm) kann die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve als zurückgelegte Wegstrecke (Positionsänderung) innerhalb des betrachteten Zeitintervalls interpretiert werden (in der Abbildung: die zurückgelegte Wegstrecke im Zeitraum zwischen t₁ und t₂).

„Fläche“ = v · Δt = Positionsänderung Δs(1.5)

Das ist leicht einzusehen: Bei konstanter Geschwindigkeit ist die Fläche ein Rechteck mit der Höhe v und der Breite Δt – und v · Δt ist genau die zurückgelegte Strecke.

Abb. 1.2: v(t)-Diagramm

Letztlich kann jede gekrümmte Kurve – bei Betrachtung sehr kleiner Abschnitte – als Treppenstufenfunktion mit jeweils konstanten Abschnitten angesehen werden. Unterhalb dieser Treppenstufen ergeben sich viele kleine rechteckige Flächen, die anschließend zur Gesamtfläche aufsummiert werden können. Somit gilt auch für gekrümmte Geschwindigkeitskurven, dass die Fläche unterhalb der Kurve der zurückgelegten Wegstrecke entspricht.

Merke Im s(t)-Diagramm liest man die Geschwindigkeit als Steigung ab, im v(t)-Diagramm den Weg als Fläche.

Flächen berechnen

Besteht die v(t)-Kurve aus geraden Stücken, zerlegt man die Fläche in einfache Grundformen:

Form	Wann?	Weg
Rechteck	v konstant	Δs = v · Δt
Dreieck	v steigt von 0 an (oder fällt auf 0)	Δs = ½ · v · Δt
Trapez	v ändert sich gleichmäßig von v₁ auf v₂	Δs = ½ · (v₁ + v₂) · Δt

Musterbeispiel Ein Auto beschleunigt in 10 s gleichmäßig von 0 auf 20 m/s, fährt dann 30 s mit 20 m/s und bremst anschließend in 10 s gleichmäßig auf 10 m/s ab.
Dreieck: ½ · 20 m/s · 10 s = 100 m · Rechteck: 20 m/s · 30 s = 600 m · Trapez: ½ · (20 + 10) m/s · 10 s = 150 m
Gesamter Weg: 850 m

Tipp Arbeite abschnittsweise von Knick zu Knick und notiere die Teilflächen in einer Tabelle. Achte auf Sprünge in der Kurve: Dort beginnt eine neue Teilfläche.

Flächen unterhalb der Zeitachse

Ist die Geschwindigkeit negativ, bewegt sich der Körper entgegen der Koordinatenrichtung (z. B. rückwärts). Die Fläche liegt dann unterhalb der Zeitachse und zählt als negative Positionsänderung. Für die tatsächlich zurückgelegte Strecke addiert man dagegen die Beträge aller Flächen.

Zusammenhang zwischen s(t)- und v(t)-Diagramm

Aus einem s(t)-Diagramm mit geraden Abschnitten erhält man das v(t)-Diagramm, indem man für jeden Abschnitt die Steigung bestimmt:

im s(t)-Diagramm	im v(t)-Diagramm
steigende Gerade	waagrechte Linie oberhalb der Zeitachse (v > 0)
waagrechte Linie	Linie auf der Zeitachse (v = 0)
fallende Gerade	waagrechte Linie unterhalb der Zeitachse (v < 0)
Knick	Sprung

Achtung – Sprünge sind idealisiert Ein Sprung im v(t)-Diagramm würde bedeuten, dass sich die Geschwindigkeit in null Sekunden ändert. Das ist in Wirklichkeit unmöglich – jede Geschwindigkeitsänderung braucht Zeit. Solche Diagramme sind also vereinfachte Modelle.

Aufgaben zu dieser Lerneinheit

Aufgabe 3.1Weg aus dem v(t)-Diagramm Aufgabe 3.2Vom s(t)- zum v(t)-Diagramm Aufgabe 3.3Weg mit Trapezflächen berechnen Aufgabe 3.4Auto und Motorrad im s(t)-Diagramm

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