Überlagerung von Geschwindigkeiten
Bewegung ist relativ
Ob und wie schnell sich ein Körper bewegt, hängt vom Bezugssystem ab, von dem aus man die Bewegung beschreibt. Ein Fahrgast, der im fahrenden Zug sitzt, ruht relativ zum Zug – relativ zum Bahndamm bewegt er sich jedoch mit der Geschwindigkeit des Zuges. Deshalb muss bei jeder Geschwindigkeitsangabe klar sein: Geschwindigkeit relativ wozu?
Vektoren und Skalare
Ein Körper kann sich im Allgemeinen in unterschiedliche Richtungen bewegen: nach links, rechts, oben, unten oder beliebig schräg. Je nachdem findet auch die Positionsänderung in die entsprechende Richtung statt. Geschwindigkeiten weisen offensichtlich eine Richtung auf, die mit der Richtung der Positionsänderung übereinstimmt.
Physikalische Größen, die neben einem Betrag auch eine Richtung aufweisen, nennt man Vektoren. Hierzu zählen unter anderem Geschwindigkeiten und Positionsänderungen, aber auch Beschleunigungen und Kräfte. Aufgrund der Richtungseigenschaft werden Vektoren auch gerichtete Größen genannt. Um den Vektorcharakter einer Größe zu verdeutlichen, zeichnet man häufig einen (Halb-)Pfeil über das Formelzeichen: v⃗.
Geschwindigkeitsvektoren werden anschaulich durch Pfeile dargestellt. Die Länge des Pfeils gibt den Betrag der Geschwindigkeit an, die Pfeilrichtung die Richtung der Bewegung.
Größen, die keine Richtung haben, sondern nur durch einen Betrag beschrieben werden, nennt man Skalare. Einer Temperatur lässt sich zum Beispiel keine Richtung zuweisen, ebenso wenig einer Masse oder einer Energie. Sie zählen deshalb zu den skalaren Größen.
Überlagerung von Geschwindigkeiten (Superpositionsprinzip)
Bewegt sich auf einem strömenden Fluss ein Boot, auf dem sich zusätzlich noch eine Person bewegt, so hat man es insgesamt mit drei Geschwindigkeiten zu tun:
- Geschwindigkeit der Person v⃗1 (relativ zum Boot),
- Strömungsgeschwindigkeit des Flusses v⃗2 (relativ zum Ufer),
- Geschwindigkeit des Boots v⃗3 (relativ zum Wasser).
Je nach Richtung und Größe der einzelnen Geschwindigkeiten überlagern sich diese zu einer resultierenden Gesamtgeschwindigkeit v⃗res. Das ist die Geschwindigkeit, mit der ein ruhender Beobachter (z. B. am Ufer) die Bewegung der Person tatsächlich wahrnimmt. Das Prinzip der Überlagerung einzelner physikalischer Größen zu einer resultierenden Gesamtgröße heißt Superpositionsprinzip.
Um die resultierende Geschwindigkeit zu ermitteln, dürfen die Beträge nicht einfach addiert werden – die Richtung muss berücksichtigt werden. Dazu hängt man die Geschwindigkeitspfeile maßstabsgetreu hintereinander (Vektoraddition). Der Pfeil vom Anfangspunkt zum Endpunkt dieser Pfeilkette ist die resultierende Geschwindigkeit:
Die Reihenfolge, in der die Pfeile aneinandergehängt werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. In einer Dimension bedeutet die Vektoraddition einfach: Geschwindigkeiten mit Vorzeichen addieren.
Entgegengesetzte Richtung: Die Beträge subtrahieren sich: vres = v1 − v2; die Richtung ist die der größeren Geschwindigkeit.
Positive Richtung: flussaufwärts. vres = (+1 m/s) + (+4 m/s) + (−1,5 m/s) = +3,5 m/s
Der Beobachter am Ufer sieht die Person mit 3,5 m/s flussaufwärts gehen. Läuft sie stattdessen zum Heck: vres = −1 + 4 − 1,5 = +1,5 m/s.
Mit und gegen die Strömung
Für ein Boot mit der Geschwindigkeit v relativ zum Wasser in einem Fluss mit der Strömungsgeschwindigkeit c gilt gegenüber dem Ufer:
Das Gleiche gilt für ein Flugzeug bei Rücken- oder Gegenwind oder eine Person auf einem Laufband. Ein Heißluftballon ohne Antrieb treibt genau mit dem Wind – relativ zur umgebenden Luft ruht er, deshalb spürt man im Korb keinen Fahrtwind. Ebenso dreht sich die Lufthülle der Erde mit der Erde mit.
Relativgeschwindigkeit zweier Körper
Bewegen sich zwei Körper entlang derselben Linie, interessiert oft, wie schnell sich ihr Abstand ändert. Das ist die Relativgeschwindigkeit:
| Situation | Betrag der Relativgeschwindigkeit | Beispiel |
|---|---|---|
| Überholen (gleiche Richtung) | Differenz der Beträge | Auto 90 km/h, LKW 72 km/h ⇒ 18 km/h |
| Begegnen (Gegenrichtung) | Summe der Beträge | Radfahrer 18 km/h und 27 km/h ⇒ 45 km/h |
Die Zeit, bis ein Abstand d aufgeholt bzw. überbrückt ist, beträgt dann Δt = d / |vrel|.
|vrel| = 30 m/s + 20 m/s = 50 m/s ⇒ Δt = 2000 m / 50 m/s = 40 s bis zur Begegnung.
Ausblick: quer zur Strömung
Bisher lagen alle Geschwindigkeiten auf einer Linie. Fährt ein Boot dagegen senkrecht zur Strömung über den Fluss, stehen die beiden Geschwindigkeiten im rechten Winkel zueinander. Dann ändert die Strömung die Zeit für die Überfahrt nicht – die Bewegungen quer über den Fluss und flussabwärts überlagern sich unabhängig voneinander. Das Boot wird aber um die Strecke s = c · Δt flussabwärts abgetrieben. Wie man solche Geschwindigkeiten zeichnerisch und rechnerisch addiert, lernst du später bei der Überlagerung von Bewegungen in zwei Dimensionen.