Zeit-Beschleunigungs-Diagramm und Zusammenhang der Zeit-Diagramme
Das Zeit-Beschleunigungs-Diagramm
Beschleunigungen können nicht nur indirekt in Zeit-Geschwindigkeits-Diagrammen über die Steigung ermittelt werden, sondern auch direkt in einem Zeit-Beschleunigungs-Diagramm – kurz a(t)-Diagramm – dargestellt werden. Nach rechts ist die Zeit t aufgetragen, nach oben die Beschleunigung a.
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung konstant – im a(t)-Diagramm ergibt sich eine waagrechte Linie in der Höhe a (bei einer Verzögerung unterhalb der Zeitachse).
Fläche unter der a(t)-Kurve = Geschwindigkeitsänderung
Aus a = Δv/Δt folgt durch Umstellen Δv = a · Δt. Im a(t)-Diagramm ist a · Δt genau die Rechteckfläche mit der Höhe a und der Breite Δt. Die Fläche unter der Kurve gibt also die innerhalb des betrachteten Zeitabschnitts erfolgte Geschwindigkeitsänderung an:
Beispiel (linke Fläche): a = 1,5 m/s² für Δt = 3 s ⇒ Δv = 1,5 m/s² · 3 s = 4,5 m/s.
Diese Aussage gilt nicht nur für Rechteckflächen, sondern für beliebige Beschleunigungsverläufe (rechte Fläche). Man kann sich die Fläche dann aus vielen schmalen Rechtecken („Treppenstufen“) zusammengesetzt denken – in jedem schmalen Streifen ist die Beschleunigung nahezu konstant und liefert den Beitrag a · Δt. Die Summe aller Beiträge ist die gesamte Geschwindigkeitsänderung. Genauso hast du im Thema Geschwindigkeit gelernt, dass die Fläche unter der v(t)-Kurve die Positionsänderung ist.
Flächen oberhalb der Zeitachse zählen positiv (der Körper wird schneller), Flächen unterhalb der Zeitachse negativ (der Körper wird langsamer).
Achtung: Die Fläche liefert nur die Änderung. Um die Geschwindigkeit selbst zu erhalten, braucht man die Anfangsgeschwindigkeit: vEnde = vAnfang + Δv.
• 0–4 s: Δv = 2 m/s² · 4 s = +8 m/s ⇒ v(4 s) = 5 m/s + 8 m/s = 13 m/s
• 4–8 s: a = 0 ⇒ Δv = 0 ⇒ v(8 s) = 13 m/s (konstante Geschwindigkeit)
• 8–12 s: Δv = −2,5 m/s² · 4 s = −10 m/s ⇒ v(12 s) = 13 m/s − 10 m/s = 3 m/s
Da a in jeder Phase konstant ist, verbindet man die Punkte im v(t)-Diagramm mit Geraden:
Der Zusammenhang der drei Zeit-Diagramme
Zwischen dem Zeit-Positions-Diagramm und dem Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm bestehen genau dieselben Zusammenhänge wie zwischen dem Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm und dem Zeit-Beschleunigungs-Diagramm:
| Diagramm | Steigung der Kurve | Fläche unter der Kurve |
|---|---|---|
| s(t)-Diagramm | Geschwindigkeit v | – (hat keine anschauliche Bedeutung) |
| v(t)-Diagramm | Beschleunigung a | Positionsänderung Δs |
| a(t)-Diagramm | – (wird hier nicht benötigt) | Geschwindigkeitsänderung Δv |
Man kommt also mit der Steigung von oben nach unten (s → v → a) und mit der Fläche von unten nach oben (a → v → s). Die folgende Abbildung zeigt das für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit a = 1 m/s², Anfangsgeschwindigkeit v0 = 4 m/s und Anfangsposition s0 = 5 m, zunächst betrachtet von t₁ = 0 bis t₂ = 5 s. Das Zeitintervall (oder einen einzelnen Zeitpunkt) und die Werte kannst du frei verändern:
• v(t): Trapezfläche von 0 bis 5 s: (4 m/s + 9 m/s)/2 · 5 s = 32,5 m = Δs ⇒ s(5 s) = 5 m + 32,5 m = 37,5 m ✓
• s(t): Die Tangente bei t = 5 s hat die Steigung 9 m/s = v(5 s) ✓; v(t): Die Gerade hat überall die Steigung 1 m/s² = a ✓
Beschleunigung ist nicht Geschwindigkeit
Geschwindigkeit und Beschleunigung werden im Alltag gerne verwechselt. Physikalisch sind sie klar getrennt – sie sagen Verschiedenes aus:
| Situation | Geschwindigkeit | Beschleunigung |
|---|---|---|
| ICE fährt mit 300 km/h konstant geradeaus | sehr groß | null |
| Auto im Moment des Anfahrens an der Ampel | null | groß (positiv) |
| Ein senkrecht hochgeworfener Ball im höchsten Punkt | null (Umkehrpunkt) | 9,81 m/s², nach unten gerichtet |
| Auto bremst vor der Ampel | positiv, nimmt ab | negativ (Verzögerung) |
a(t) → v(t) → s(t): Abschnittsweise die Fläche bestimmen und zum Anfangswert addieren. Dazu braucht man die Anfangsgeschwindigkeit v₀ bzw. die Anfangsposition s₀ – sie lassen sich aus dem darunterliegenden Diagramm nicht ablesen.