Durchschnitts- und Momentanbeschleunigung im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm
Die Steigung im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm
Bei großen Beschleunigungen ändert sich die Geschwindigkeit eines Körpers sehr stark, bei geringen Beschleunigungen nur wenig. Die Kurve in einem Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm steigt deshalb bei großen Beschleunigungen steil und bei kleinen Beschleunigungen flach an (vergleiche Auto und Motorrad in Abb. 1.1).
Zeichnet man ein Steigungsdreieck ein, sieht man sofort: Die waagrechte Seite ist ein Zeitabschnitt Δt, die senkrechte Seite die zugehörige Geschwindigkeitsänderung Δv. Die mathematische Steigung ist also genau die Beschleunigung:
• steigende Kurve ⇒ a > 0 (der Körper wird schneller)
• fallende Kurve ⇒ a < 0 (der Körper wird langsamer, Verzögerung)
• waagrechte Kurve ⇒ a = 0 (konstante Geschwindigkeit – nicht unbedingt Stillstand!)
• Gerade ⇒ a ist konstant (gleichmäßig beschleunigte Bewegung)
Genauso war es bei der Geschwindigkeit: Dort ist die Steigung im Zeit-Positions-Diagramm die Geschwindigkeit. Diese Analogie zieht sich durch das ganze Kapitel.
Reale Beschleunigungsvorgänge
Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist beim Anfahren an der Ampel auf Dauer nicht realistisch. Mit größer werdender Geschwindigkeit nimmt der Luftwiderstand immer mehr zu und erschwert eine weitere Geschwindigkeitszunahme. Irgendwann erreichen Auto und Motorrad ihre Höchstgeschwindigkeit. Die realen Geschwindigkeitsverläufe flachen deshalb mit der Zeit immer mehr ab.
Zu Beginn des Anfahrens ist der Luftwiderstand wegen der geringen Geschwindigkeit noch klein: Das Motorrad kann seine Geschwindigkeit sehr stark ändern – hohe Beschleunigung, große Steigung. Mit zunehmender Geschwindigkeit steigt der Luftwiderstand stark an, die Geschwindigkeit ändert sich nur noch wenig – geringe Beschleunigung, kleine Steigung. Bei der Höchstgeschwindigkeit ist die Kurve waagrecht: a = 0.
Die Beschleunigung ist dann nicht mehr konstant – sie ändert sich mit der Zeit. Deshalb müssen wir genauer sagen, welche Beschleunigung wir meinen.
Durchschnitts- und Momentanbeschleunigung
Wie bei der Geschwindigkeit muss auch bei der Beschleunigung zwischen Durchschnittsbeschleunigung und Momentanbeschleunigung unterschieden werden. Für einen endlichen Zeitabschnitt Δt, innerhalb dessen sich die Geschwindigkeit mal langsam und mal schnell ändern kann, gibt die Definition (1.7) lediglich die Durchschnittsbeschleunigung ā wieder, die der Körper in diesem Zeitabschnitt im Mittel besaß:
Um die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt zu erhalten, muss der betrachtete Zeitabschnitt immer kleiner gewählt werden. Anschaulich bleibt dem Körper in einem immer kürzeren Zeitabschnitt immer weniger Zeit, seine Beschleunigung merklich zu ändern. Im Grenzfall eines unendlich kleinen Zeitabschnitts (Δt → 0) erhält man die Momentanbeschleunigung:
Grafisch bedeutet das:
• Die Durchschnittsbeschleunigung zwischen zwei Zeitpunkten t1 und t2 ist die Steigung der Sekante durch die beiden zugehörigen Kurvenpunkte.
• Die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t3 ist die Steigung der Tangente an die Kurve in diesem Punkt.
• Negative Steigungswerte bedeuten eine negative Beschleunigung, also eine Verzögerung – der Körper wird langsamer.
So bestimmst du die Beschleunigung aus einem Diagramm
2. ā = (v(t2) − v(t1)) / (t2 − t1) berechnen. Was zwischen t₁ und t₂ passiert, spielt keine Rolle.
2. Die Tangente möglichst lang zeichnen und ein großes Steigungsdreieck an gut ablesbaren Gitterpunkten wählen – dann wirken sich Ablesefehler kaum aus.
3. a = Δv/Δt des Steigungsdreiecks berechnen. Ablesewerte sind immer ungefähr – leichte Abweichungen sind normal.
Durchschnittsbeschleunigung von 2 s bis 5 s: ā = (30 − 14) m/s / 3 s ≈ 5,3 m/s²
Durchschnittsbeschleunigung von 20 s bis 25 s: ā = (66 − 62) m/s / 5 s ≈ 0,8 m/s²
Die Beschleunigung ist also zu Beginn viel größer als später – die Kurve flacht ab.
Geschwindigkeit und Beschleunigung – gleiche Logik
| Zeit-Positions-Diagramm s(t) | Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm v(t) | |
|---|---|---|
| Sekantensteigung | Durchschnittsgeschwindigkeit v̄ | Durchschnittsbeschleunigung ā |
| Tangentensteigung | Momentangeschwindigkeit v(t) | Momentanbeschleunigung a(t) |
| Gerade | gleichförmige Bewegung (v konstant) | gleichmäßig beschleunigte Bewegung (a konstant) |
| waagrecht | Stillstand (v = 0) | konstante Geschwindigkeit (a = 0) |