Aufgabe 2.1
Wettrennen: Flugzeug gegen Motorrad
Das v(t)-Diagramm zeigt für die ersten 80 Sekunden ein Wettrennen zwischen einem Düsenflugzeug und einem Motorrad auf der Startbahn eines Flugplatzes. Beide starten gleichzeitig nebeneinander aus dem Stand. Das Motorrad erreicht nach 35 s seine Höchstgeschwindigkeit von 70 m/s.
a) Beschreibe die beiden Bewegungen in Worten und begründe den Verlauf der Kurven.
Achte auf die Steigung der Kurven zu Beginn und im weiteren Verlauf. Was bedeutet eine waagrechte Kurve?
Motorrad: Es beschleunigt anfangs sehr stark (steile Kurve, zu Beginn etwa 4 m/s²). Mit wachsender Geschwindigkeit nimmt der Luftwiderstand zu, die Beschleunigung wird kleiner (Kurve flacht ab). Nach 35 s ist die Höchstgeschwindigkeit von 70 m/s (252 km/h) erreicht – ab da ist die Kurve waagrecht: a = 0, konstante Geschwindigkeit.
Flugzeug: Es beschleunigt anfangs schwächer als das Motorrad (flachere Kurve – große Masse), aber seine Triebwerke sind so stark, dass es noch lange weiter beschleunigt. Nach 80 s ist es mit gut 100 m/s (≈ 370 km/h) deutlich schneller. Auch seine Kurve flacht allmählich ab.
Flugzeug: Es beschleunigt anfangs schwächer als das Motorrad (flachere Kurve – große Masse), aber seine Triebwerke sind so stark, dass es noch lange weiter beschleunigt. Nach 80 s ist es mit gut 100 m/s (≈ 370 km/h) deutlich schneller. Auch seine Kurve flacht allmählich ab.
b) Nach wie vielen Sekunden haben Motorrad und Flugzeug dieselbe Geschwindigkeit? Wer liegt zu diesem Zeitpunkt vorne?
Gleiche Geschwindigkeit = Schnittpunkt der beiden Kurven im v(t)-Diagramm. Ein Schnittpunkt im v(t)-Diagramm bedeutet aber nicht, dass beide an derselben Stelle sind!
Die zurückgelegte Strecke ist die Fläche unter der v(t)-Kurve. Wessen Fläche ist bis zu diesem Zeitpunkt größer?
Die Kurven schneiden sich bei t = 35 s (v = 70 m/s).
Bis dahin war das Motorrad zu jedem Zeitpunkt schneller als das Flugzeug – seine Kurve liegt höher, die Fläche darunter (= zurückgelegte Strecke) ist größer. Also liegt das Motorrad vorne (nach dem Modell der Kurven: rund 1633 m gegenüber 1339 m, ein Vorsprung von etwa 294 m – orange Fläche im Diagramm bei Teil f).
Bis dahin war das Motorrad zu jedem Zeitpunkt schneller als das Flugzeug – seine Kurve liegt höher, die Fläche darunter (= zurückgelegte Strecke) ist größer. Also liegt das Motorrad vorne (nach dem Modell der Kurven: rund 1633 m gegenüber 1339 m, ein Vorsprung von etwa 294 m – orange Fläche im Diagramm bei Teil f).
c) Wie groß ist die mittlere Beschleunigung des Motorrads zwischen 10 s und 20 s?
Lies v(10 s) und v(20 s) auf der Motorradkurve ab.
ā = (v(20 s) − v(10 s)) / 10 s – das ist die Steigung der Sekante.
Ablesen: v(10 s) ≈ 34 m/s, v(20 s) ≈ 57 m/s
ā = (57 m/s − 34 m/s) / (20 s − 10 s) = 23 m/s / 10 s ≈ 2,3 m/s² (Ablesewerte zwischen etwa 2,0 und 2,6 m/s² sind in Ordnung).
ā = (57 m/s − 34 m/s) / (20 s − 10 s) = 23 m/s / 10 s ≈ 2,3 m/s² (Ablesewerte zwischen etwa 2,0 und 2,6 m/s² sind in Ordnung).
d) Wie groß ist die Momentanbeschleunigung des Flugzeugs zum Zeitpunkt 30 s?
Lege bei t = 30 s eine Tangente an die Flugzeugkurve.
Wähle ein großes Steigungsdreieck, z. B. von t = 20 s bis t = 40 s, und lies die Geschwindigkeiten auf der Tangente (nicht auf der Kurve) ab.
Die Tangente bei t = 30 s (v ≈ 62 m/s) verläuft etwa durch die Punkte (20 s | 46 m/s) und (40 s | 78 m/s):
a(30 s) ≈ (78 m/s − 46 m/s) / 20 s = 32 m/s / 20 s ≈ 1,6 m/s² (Ablesewerte zwischen etwa 1,3 und 1,9 m/s² sind in Ordnung).
a(30 s) ≈ (78 m/s − 46 m/s) / 20 s = 32 m/s / 20 s ≈ 1,6 m/s² (Ablesewerte zwischen etwa 1,3 und 1,9 m/s² sind in Ordnung).
e) Begründe, wer nach 80 Sekunden vorne liegt.
Vergleiche die Flächen unter den beiden Kurven von 0 bis 80 s. Wo holt das Flugzeug auf?
Nach 35 s ist das Flugzeug schneller als das Motorrad und holt dessen Vorsprung auf. Die Fläche, um die die Flugzeugkurve von 35 s bis 80 s über der Motorradkurve liegt, ist deutlich größer als die Fläche, um die die Motorradkurve vorher darüber lag. Also liegt das Flugzeug nach 80 s vorne (nach dem Modell der Kurven etwa 5461 m gegenüber 4783 m).
f) Ab welchem ungefähren Zeitpunkt sind Motorrad und Flugzeug gleichauf?
Gleichauf sind sie, wenn beide dieselbe Strecke zurückgelegt haben – also wenn die Flächen unter beiden Kurven gleich groß sind.
Der Vorsprung des Motorrads nach 35 s entspricht der Fläche zwischen den Kurven von 0 bis 35 s (≈ 290 m, also etwa 29 Kästchen à 10 m/s · 1 s). Ab 35 s muss das Flugzeug dieselbe Fläche „oberhalb“ der 70-m/s-Linie aufholen.
Ab t = 35 s fährt das Motorrad konstant 70 m/s. Das Flugzeug holt pro Sekunde so viel auf, wie seine Geschwindigkeit über 70 m/s liegt (blaue Fläche). Die blaue Fläche erreicht die Größe der orangen Fläche (≈ 294 m) bei etwa t ≈ 57 s. Werte zwischen 52 s und 62 s sind als Abschätzung in Ordnung.