Aufgabe 2.2
Tangente und Sekante im v(t)-Diagramm
Ein Elektroauto beschleunigt mit Vollgas aus dem Stand. Das Diagramm zeigt den gemessenen Geschwindigkeitsverlauf.
a) Bestimme die Durchschnittsbeschleunigung in den ersten 10 s.
Lies die Geschwindigkeit bei t = 10 s ab. Bei t = 0 ist v = 0.
v(10 s) ≈ 27,5 m/s ⇒ ā = (27,5 m/s − 0)/10 s ≈ 2,75 m/s² (Steigung der roten Sekante im Diagramm unten).
b) Bestimme die Momentanbeschleunigung beim Start (t = 0).
Lege im Ursprung eine Tangente an die Kurve. Sie verläuft steiler als die Sekante aus a).
Verlängere die Tangente bis t = 10 s und lies dort ihren v-Wert ab.
Die Tangente im Ursprung erreicht bei t = 10 s etwa 40 m/s (grün gestrichelt):
a(0) ≈ 40 m/s / 10 s = 4 m/s² (Ablesewerte zwischen 3,5 und 4,5 m/s² sind in Ordnung).
a(0) ≈ 40 m/s / 10 s = 4 m/s² (Ablesewerte zwischen 3,5 und 4,5 m/s² sind in Ordnung).
c) Bestimme die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t = 10 s.
Tangente im Punkt (10 s | 27,5 m/s) anlegen und ein Steigungsdreieck über 10 s zeichnen.
Die Tangente bei t = 10 s steigt in 10 s um etwa 18 m/s (blau gestrichelt):
a(10 s) ≈ 18 m/s / 10 s ≈ 1,8 m/s² (Ablesewerte zwischen 1,5 und 2,1 m/s² sind in Ordnung).
a(10 s) ≈ 18 m/s / 10 s ≈ 1,8 m/s² (Ablesewerte zwischen 1,5 und 2,1 m/s² sind in Ordnung).
d) Warum ist die Durchschnittsbeschleunigung aus a) kleiner als die Anfangsbeschleunigung aus b), aber größer als die Momentanbeschleunigung bei 10 s aus c)? Begründe auch physikalisch, warum die Beschleunigung abnimmt.
Die Durchschnittsbeschleunigung „mittelt“ über alle Momentanbeschleunigungen im Zeitabschnitt.
Die Momentanbeschleunigung nimmt im Zeitraum 0 … 10 s ständig ab – von etwa 4 m/s² auf etwa 1,8 m/s². Die Durchschnittsbeschleunigung liegt als „Mittelwert“ dazwischen. Grafisch: Die Sekante ist flacher als die Anfangstangente, aber steiler als die Tangente bei 10 s.
Physikalisch: Mit wachsender Geschwindigkeit steigen Luft- und Rollwiderstand, außerdem liefert der Motor bei hohen Drehzahlen nicht mehr seine volle Zugkraft. Ein immer kleinerer Teil der Antriebskraft steht für die Geschwindigkeitszunahme zur Verfügung – die Kurve flacht ab.
Physikalisch: Mit wachsender Geschwindigkeit steigen Luft- und Rollwiderstand, außerdem liefert der Motor bei hohen Drehzahlen nicht mehr seine volle Zugkraft. Ein immer kleinerer Teil der Antriebskraft steht für die Geschwindigkeitszunahme zur Verfügung – die Kurve flacht ab.