Aufgabe 3.1
Vom a(t)- zum v(t)-Diagramm
Ein Auto steht zum Zeitpunkt t = 0 an einer Ampel und fährt los. Das a(t)-Diagramm zeigt seine Beschleunigung in den folgenden 18 Sekunden.
a) Bestimme die Geschwindigkeit des Autos zu den Zeitpunkten 4 s, 10 s, 14 s und 18 s.
Die Fläche jedes Abschnitts im a(t)-Diagramm ist die Geschwindigkeitsänderung in diesem Abschnitt: Δv = a · Δt.
Addiere die Änderungen nacheinander zur Anfangsgeschwindigkeit v = 0. Flächen unterhalb der Zeitachse zählen negativ.
• 0–4 s: Δv = 3 m/s² · 4 s = +12 m/s ⇒ v(4 s) = 12 m/s
• 4–10 s: a = 0 ⇒ Δv = 0 ⇒ v(10 s) = 12 m/s
• 10–14 s: Δv = −2 m/s² · 4 s = −8 m/s ⇒ v(14 s) = 4 m/s
• 14–18 s: Δv = −1 m/s² · 4 s = −4 m/s ⇒ v(18 s) = 0 – das Auto steht wieder (z. B. an der nächsten Ampel).
• 4–10 s: a = 0 ⇒ Δv = 0 ⇒ v(10 s) = 12 m/s
• 10–14 s: Δv = −2 m/s² · 4 s = −8 m/s ⇒ v(14 s) = 4 m/s
• 14–18 s: Δv = −1 m/s² · 4 s = −4 m/s ⇒ v(18 s) = 0 – das Auto steht wieder (z. B. an der nächsten Ampel).
b) Skizziere das zugehörige v(t)-Diagramm und beschreibe die Fahrt in Worten.
In jeder Phase ist a konstant ⇒ im v(t)-Diagramm eine Gerade. Verbinde die Punkte aus a).
Das Auto beschleunigt 4 s lang gleichmäßig auf 12 m/s (43,2 km/h), fährt dann 6 s mit konstanter Geschwindigkeit, bremst 4 s lang kräftig auf 4 m/s und rollt danach mit geringerer Verzögerung in 4 s bis zum Stillstand aus.
c) Welche Strecke hat das Auto in den 18 s insgesamt zurückgelegt?
Jetzt brauchst du die Fläche unter der v(t)-Kurve aus b) – zerlege sie in Dreiecke, Rechtecke und Trapeze.
Flächen unter der v(t)-Kurve:
0–4 s (Dreieck): ½ · 4 s · 12 m/s = 24 m
4–10 s (Rechteck): 6 s · 12 m/s = 72 m
10–14 s (Trapez): (12 m/s + 4 m/s)/2 · 4 s = 32 m
14–18 s (Dreieck): ½ · 4 s · 4 m/s = 8 m
Summe: s = 24 m + 72 m + 32 m + 8 m = 136 m
0–4 s (Dreieck): ½ · 4 s · 12 m/s = 24 m
4–10 s (Rechteck): 6 s · 12 m/s = 72 m
10–14 s (Trapez): (12 m/s + 4 m/s)/2 · 4 s = 32 m
14–18 s (Dreieck): ½ · 4 s · 4 m/s = 8 m
Summe: s = 24 m + 72 m + 32 m + 8 m = 136 m