Aufgabe 4.6
Doppelt so schnell – viermal so weit
Ein Auto beschleunigt aus dem Stand gleichmäßig. Beantworte die Fragen möglichst ohne die Beschleunigung auszurechnen – nur mit den Proportionalitäten s ~ t² und s ~ v².
a) Das Auto braucht 50 m, um 50 km/h zu erreichen. Welche Strecke braucht es (bei gleicher Beschleunigung) bis 100 km/h?
s = v²/(2a) – was passiert mit s, wenn v verdoppelt wird?
Doppelte Geschwindigkeit ⇒ (2v)² = 4v² ⇒ vierfache Strecke: 4 · 50 m = 200 m.
b) In den ersten 3 s legt das Auto 9 m zurück. Wie weit kommt es in den ersten 6 s?
s = ½ · a · t² – doppelte Zeit ⇒ ? Strecke
Doppelte Zeit ⇒ vierfache Strecke: 4 · 9 m = 36 m.
c) Wie weit fährt das Auto allein in der 6. Sekunde (von t = 5 s bis t = 6 s)?
Berechne s(5 s) genauso wie in b) über das Verhältnis der Zeitquadrate.
s(5 s) = 9 m · (5/3)²; gesucht ist s(6 s) − s(5 s).
s(5 s) = 9 m · (5 s / 3 s)² = 9 m · 25/9 = 25 m
Δs = s(6 s) − s(5 s) = 36 m − 25 m = 11 m
Kontrolle mit der Ungerade-Zahlen-Regel: Die Strecken der einzelnen Sekunden verhalten sich wie 1 : 3 : 5 : 7 : 9 : 11. Aus 9 m in den ersten 3 s (1 + 3 + 5 = 9 Teile) folgt 1 Teil = 1 m, die 6. Sekunde hat 11 Teile = 11 m ✓. (Die Beschleunigung ist übrigens a = 2 m/s².)
Δs = s(6 s) − s(5 s) = 36 m − 25 m = 11 m
Kontrolle mit der Ungerade-Zahlen-Regel: Die Strecken der einzelnen Sekunden verhalten sich wie 1 : 3 : 5 : 7 : 9 : 11. Aus 9 m in den ersten 3 s (1 + 3 + 5 = 9 Teile) folgt 1 Teil = 1 m, die 6. Sekunde hat 11 Teile = 11 m ✓. (Die Beschleunigung ist übrigens a = 2 m/s².)